「つくば計算機援用証明セミナー」は、数値計算に伴う誤差の制御や、コンピュータによる数学証明を実現する計算機援用証明の研究を発展させることを目的としたセミナーで、不定期開催です。精度保証付き数値計算を中心とした関連分野の研究者が議論を行う場を提供し、分野横断的な研究交流を通じて各分野の発展に寄与することを目指します。
第6回 9月7日（月） 16:30--18:00＠筑波大学第3エリア総合研究棟B 0107室
Kevin Constantineau（McGill University）
「Platonic constellations of periodic motions in the $(n+1)$-body problem」
概要：We study the spatial $(n+1)$-body problem formed by one heavy central mass together with $n$ equal masses placed on a single orbit of a polyhedral rotation group $H\in\{\mathbb{T},\mathbb{O},\mathbb{I}\}$, so that $n=|H|\in\{12,24,60\}$. Imposing the symmetry $q_{L}=L\,q_{I}$ for $L\in H$ reduces the problem to a single $2\pi$-periodic reference curve, with reduced action $\mathcal{A}_{H}=\mathcal{A}_{0}+\varepsilon \mathcal{A}_{1}$, in which $\varepsilon$ is the inverse central mass and $\mathcal{A}_{0}$ is the Kepler action. At $\varepsilon=0$ the critical set contains, as one connected component, the five-dimensional manifold of Kepler ellipses of minimal period $2\pi$, which we prove to be a nondegenerate critical manifold. A Lyapunov--Schmidt reduction along this manifold turns the continuation problem into the search for nondegenerate critical points of an explicit function $\Phi(e,\psi)$ of the eccentricity $e$ and the spatial orientation $\psi$. We verify this condition by a computer-assisted argument in which we rigorously compute integrals using Fourier methods. We thereby obtain, for each of the three groups, families of periodic solutions of the $(n+1)$-body problem with $n+1\in\{13,25,61\}$ bodies, bifurcating from Kepler ellipses and carrying the full tetrahedral, octahedral, or icosahedral symmetry.
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第２回 5月14日（木） 16:30--18:00＠筑波大学第3エリア総合研究棟B 0107室
Jason Mireles-James (Florida Atlantic University)
「Introduction to the parameterization method for invariant manifolds」
概要：I will provide a short introduction to the parameterization method for invariant manifolds. These ideas have deep roots in dynamical systems theory but started to develop into a coherent method in works of Cabre, Fontich, Haro, and de la Llave which appeared around 2001 and shortly thereafter. My presentation will provide a little history and then focus on computational applications. In particular, I'll discuss the use of the method to compute stable/unstable manifolds attached to fixed points of maps, equilibria, and periodic orbits for ordinary differential equations. If time permits, I will also mention some applications to delay and partial differential equations.
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第１回 4月28日（火） 16:30--18:00＠筑波大学第3エリア総合研究棟B 0107室
松江要（九州大学）
「精度保証付き数値計算と力学系 ― 問題の捉え方と基本的な考え方」
概要：精度保証付き数値計算（計算機援用証明）は「数学的に厳密な結果を数値計算によって得る」ことを可能にするアプローチであり、解析的手法だけでは証明が難しい問題において威力を発揮します。力学系は、この技術との親和性が高い分野の一つです。しかし、精度保証付き数値計算では区間演算による誤差評価などのため、通常の数値計算とは異なる考え方が必要になります。特に、厳密な結論を得るためには、単に計算を行うだけでなく、どの量を計算すれば目的の数学的結果が導かれるのかを保証する理論的枠組みが重要になります。本講演では、力学系の例を通して、精度保証付き数値計算を用いた数理的問題の基本的な考え方を紹介します。
アクセス：
どなたでも講演を聴講できます。直接会場にお越しください。事前登録等は不要です。筑波大学第3エリア総合研究棟Bへの来校方法はアクセスのページをご参照ください。
世話人：
高安亮紀（筑波大学）
岩波龍雅（筑波大学大学院）
本セミナーは以下の研究費からの補助を受けて開催しています。
- 科学技術振興機構創発的研究支援事業「計算機援用証明によるナヴィエ-ストークス方程式の解析」（研究代表者: 高安亮紀, 課題番号: JPMJFR246A）
- 日本学術振興会学術研究助成基金助成金 基盤研究(B) 「無限次元力学系に対する時間変数境界値問題の計算機援用証明の研究」（研究代表者: 高安亮紀, 課題番号: 26K00619）